Как оформить обратную задачу

Что означает обратная задача в математике?

Что такое обратная задача?

Начиная со второго класса, детям регулярно задают на дом задания. Большое внимание педагоги уделяют решению задач, ведь именно за них ребенок получает больше баллов на контрольных и тестах.

Понятие «обратная задача» знакомо всем ученикам школы, в которой учатся мои дети, даже тем, кто не любит математику и далек от нее.

По сути, обратная данной задача, — это задача в которой искомое и заданное поменялись местами. Для того чтобы решить ее, нужно для начала решить заданную.

В качестве примера рассмотрим задачу с решением в одно действие: На столе было 5 груш и 4 яблока, сколько фруктов было всего. Решение простое: 5+4=9.

В данном случае, можно составить и решить две задачи обратные данной:

  • Всего на столе было 9 фруктов, из них 5 груш. Сколько было яблок?
  • Всего на столе было 9 фруктов, из них 4 яблока. Сколько было груш?

Чем больше данных в задаче, тем больше обратных задач можно к ней составить.

Обратные задачи просты и понятны большинству учеников младших классов.

Если же ваш ребенок пропустил эту тему, не понимает, что от него требуется, научить его составлять обратные задачи не составит труда, так как данная тема легко воспринимается даже детьми с гуманитарным складом ума.

Достаточно интересна и познавательна для родителей тема: «Как помочь ребенку преодолеть школьные проблемы», рекомендую с ней, по желанию, ознакомиться.

По математике «Обратная задача» 1 класс

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Раздел долгосрочного плана:

Раздел 3C – Равенства и неравенства. Уравнения

Школа: школа-гимназия №50 имени Ахмета Байтурсынова

ФИО учителя: Головина Н.В.

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

1.5.1.3 ** анализировать и решать задачи на нахождение суммы и остатка; составлять и решать обратные задач

1.5.1.1 моделировать задачу в виде схемы, рисунка, краткой записи;

подбирать опорную схему для решения задач

Познакомить первоклассников с понятием “обратная задача”; определить взаимосвязь между прямой и обратными задачами, сформировать умение составлять к задачам на сложение пары

обратных задач на вычитание.

Определите языковые цели, включая примеры лексики и фраз

сравнивать числа и величины, и объяснять, как они представляют равенство или неравенство,решать уравнения,задачи

— составлять и решать задачи, обратные данным;

— строить графические модели к задачам.

Лексика и терминология, специфичная для предмета:

Полезно проговорить с учащимися правило решения уравнений с неизвестным уменьшаемым и повторять в течение урока правильные формулировки. Данная работа формирует глубокое

понимание и грамотную математическую речь.

Новые ключевые слова на этом уроке не вводятся .

Полезные выражения для диалогов и письма:

Что произойдет в результате взвешивания?

Что означает, если весы не уравновешены?

Получилось ли то же значение?

Это (выражение, значение) больше, чем/ меньше, чем это выражение?

Можете ли вы сказать почему…?

• … это значение выражения больше, чем то?

• … может быть больше, чем один правильный ответ?

• Постройте диаграмму, показывающую баланс

• Составьте список выражений с одинаковым значением

• Составьте список чисел меньших, чем.

Взаимосвязь с предметами: обучение грамоте на родном языке, самопознание, познание мира, естествознание, музыка

Равенства и неравенства, сложение и вычитание в пределах 20,буквенные и числовые выражения,решение уравнений.

Ценности, основанные на национальной идее «М??гілік ел»: казахстанский патриотизм и гражданская ответственность; уважение; сотрудничество; труд и творчество; открытость; образование в течение всей жизни

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Прозвенел уже звонок
А у нас, ребята, с вами
Математики урок.

Лыжники участвуют в соревнованиях под номерами. Кто за кем стоит?

-Этот лыжник стоит между 6 и 8, 9 и 11.

— следует за 5, 8, 3.

Какое лишнее число?

— назовите числа в порядке возрастания( 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 .)

На какие две части можно разложить числа? Это чётные числа.

Работа в группах

Подобрать к каждой задаче схему и решить ее.

Примерный текст задачи:

1. В кошельке лежат 2 монеты: 10 тенге и 20 тенге.

Сколько всего денег лежит в кошельке?

2. В кошельке лежат 2 монеты. В сумме они составляют

30 тенге. Одна монета — 20 тенге. Узнай, какая

еще монета лежит в кошельке.

3. В кошельке лежат 2 монеты. В сумме они состав- ляют 30 тенге. Одна монета — 10 тенге. Назови

Наблюдайте за тем, как учащиеся решают задачи.

Используйте результаты данного наблюдения при

оценивании. В ходе работы дети определяют, что

тексты всех трех задач похожи и в них используются

одни и те же числовые значения. Эти выводы ребята

смогут озвучить при обсуждении проделанной

работы. Похвалите их за наблюдательность и помо-

гите им сформулировать определение для подобного

вида задач. Для этого задайте следующие вопросы:

— На что направлена первая задача?

(На нахождение неизвестного целого.)

— На что направлена вторая задача?

(На нахождение неизвестной части.)

— Каким действием она решается?

— Чем похожи эти 2 задачи?

Числовой луч от 1 до 20

таблица с условиями задач;

• карточки с текстами задач для работы в группах;

Работа по учебникус. 66-67

Учащиеся читают тексты задач.

-Связаны ли задачи между собой?

( Они объединены одной темой, содержат одинаковые

числовые значения.) Опираясь на схемы и содержание

задач, дети смогут сделать вывод о том, что задача

под буквой “А” является прямой, а задачи под

буквами “Б” и “В” являются обратными.

Вывод : к задаче на сложение можно составить пару обратных задач на вычитание

Состав ьте и решите обратную задачу. В ходе обсуждения и проведения взаимопроверки первоклассники смогут сделать вывод о том, что к задаче на сложение можно составить 2 обратные задачи на вычитание.

Таким образом они смогут не только выполнить

проверку решения задачи, но и увидеть взаимосвязь

между компонентами задачи.

б) 12 + 7 = 19 (д.) Ответ: 19 детей.

Ответ: 12 детей ходят в танцевальный кружок.

Ответ: 7 человек занимаются музыкой.

Попробуй. Учащиеся составляют текст прямой

задачи на сложение из предложенных слов, опираясь

на схему. После этого они составляют пару обратных

задач, используя слова с противоположным значением. Затем нужно решить задачи.

Пример составления прямой задачи:

У Арины в копилке было 70 монет, родители

добавили еще 10 монет. Сколько монет стало

в копилке у Арины?

1. У Арины в копилке было 80 монет. Она взяла

из копилки 70 монет. Сколько монет осталось

2. У Арины в копилке было 80 монет. Она по-

тратила из них 10 монет. Сколько монет осталось

Работа в тетрадях

1. Весенний сад. Ученик должен прочитать текст

задачи и подобрать к ней обратные задачи, соединив

линией основную задачу с обратными.

2.Перелетные птицы. Учащийся должен про-

читать текст задачи, построить к ней схему, оформить

решение и ответ. Затем он должен составить 2

обратные задачи и оформить к ним краткие записи, схемы, решения и ответы.

1. 20 + 30 = 50 (п.) Ответ: 50 перелетных птиц вернулось с юга.

2. Всего прилетело 50 птиц. Из них 30 скворцов, аостальные грачи. Сколько грачей прилетело?

3. Всего прилетело 50 птиц. Из них 20 грачей,

а остальные скворцы. Сколько скворцов

Ответь на вопросы

— Что такое обратная задача?

— На что нужно обращать внимание при составлении обратной задачи?

— Сколько обратных задач можно составить к задаче

Н.З. Иманбаева Пробный учебник для 1 класса «Математика»,

рабочая тетрадь для 1 класса «Математика»

Я узнал … Я научился … Я понял … Я смог ….
Самым трудным было …
– Расскажите дома, что интересного вы узнали на уроке.

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

В течение урока учитель оказывает поддержку менее способным учащимся. Более способным учащимся предлагается записать количество предметов цифрами.

Посредством наблюдения учителя на уроке проверяется умение учащегося соотносить количество предметов с цифрой для записи этого количества.

Используемые физминутки и активные виды деятельности.

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

ЦО взяты из учебного плана, конкретные, реалистичные и достижимые.

При контроле за временем выдержаны все этапы урока.

Все учащиеся достигли цели обучения.

Использованная на уроке дифференциация показала эффективность ее использования.

Отступлений и изменений в плане не было.

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

Номер материала: ДБ-273631

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Решение взаимно-обратных задач в начальной школе (на умножение и деление)

2. Решение простых задач на умножение и деление.

Задачи на умножение, деление по содержанию и деление на равные части. Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз и задачи на кратное сравнение.

Задачи на нахождение части числа, числа по величине его части, задачи типа: “Какую часть составляет одно число от другого”.

Перед нашей школой всегда стояла задача построения такой методической системы, которая обеспечивала бы резкое повышение качества знаний при значительной экономии времени, расходуемого на изучение материала. В наше время при все возрастающем потоке информации эта проблема стоит особенно остро.

Еще в 60-е годы Комиссией по определению содержания обучения математике, работающей в АПН СССР, был разработан проект программы по математике. Авторы проекта одним из главных средств ускоренного и сознательного изучения материала в школе считали изменение структуры существующих программ, осуществление более целесообразной группировки вопросов, рациональной группировки вопросов, рациональной последовательности разделов, то есть применение метода противопоставления на уроках математики.

Общепринятая традиционная система обучения математике соблюдает принцип раздельного изучения взаимосвязанных понятий или преобразований. При одновременном изучении взаимосвязанных вопросов в пределах одних и тех же уроков дидактической единицей усвоения становится более крупная единица знаний, чем в случае раздельного изучения их. Переход в обучении к более крупным дидактическим единицам усвоения знаний дает экономию сил и времени.

При изучении задач в курсе математики, как простых, так и сложных, как обычных арифметических, так и типовых оказывается высоко эффективным систематическое применение так называемого метода обратных задач.

Успех обучения решению задач посредством преобразования прямой задачи в обратные задачи объясняется как первопричиной тем, что такой путь заставляет поднимать из сферы подсознания наибольшее разнообразие связей, заключенных в содержании задачи. Это и обеспечивает – на языке дидактики – глубокое и прочное усвоение материала.

На составление и решение обратной задачи уходит несравненно меньше времени, чем на решение новой задачи, так как числовые данные и сюжет остаются прежними; производится здесь лишь логическая операция по переосмыслению ролей чисел; неизвестное в прямой задаче становится известным и наоборот.

Поэтому я взяла для изучения и последующей работы тему “Решение взаимно обратных задач в начальной школе”.

На мой взгляд, самое трудное в начальной школе – научить ребенка грамотно писать, а самое трудное в математике – научить решать задачи.

В процессе работы мне хотелось повысить процент способных детей и уменьшить процент слабых.

Кроме того, в своей работе я стремлюсь к тому, чтобы как можно больший процент детей имел качественный показатель знаний по математике. Далее я опишу, как я этого добиваюсь и каковы результаты молей работы.

Я ознакомилась с мнением различных ученых-методистов (смотреть список литературы) по вопросу классификации задач и решению взаимно обратных задач, как по традиционной, так и по развивающей методике.

Работа со взаимно обратными задачами просматривается у Аритской Н.И., у Свечникова А.А., но у Аритской И.И. нет четкой классификации задач, также, как у Истоминой Н.Б.

Классификация сложных задач в принципе сходна у Эрдниева П.М., Свечникова А.А., Баитовой М.А. но простые задачи Свечников А.А. и Баитова М.А. классифицируют несколько иначе, чем Эрдниев П.М.

За основу я взяла работу над задачами по Эрдниеву П.М., так как на сегодняшний день более четкой классификации задач и методики работы над взаимно обратными задачами я пока не вижу.

Читайте так же:  Приказ министерства сельского хозяйства рф 281 от 17.07.2020

Следует отметить существенно важные дидактические достоинства метода обратных задач:

– Во время преобразования задачи учащийся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами задачи:

Прямая задача Ц. К. С.
30 р. 6 к. ? р.
Обратная задача Ц. К. С.
30 р. ? к. 180 р.

– Во время преобразования учащийся практически познает связи между действиями. Полезно, например, обратить внимание учащихся на то, что количество действий при решении прямой и обратной задач совпадает (это правило нарушается крайне редко). Кроме того, полезно знать учащимся следующее явление: каждому действию прямой задачи соответствует действие той же ступени в обратной задаче.

– Количество комбинаций при составлении обратной задачи ограниченно: оно равно количеству данных в задаче.

– Решая обратную задачу, учащийся перестраивает суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи, преодолевая при этом в мышлении инерцию действий, выполненных при решении прямой задачи.

– Решение обратной задачи представляет проверку решения прямой задачи, то есть при этом возникают благоприятные условия для потоков информации по целям обратных связей в мыслительных процессах (систематическое сочетание прямых и обратных задач вырабатывает важное качество личности – чувство самоконтроля).

– Учащиеся, составляя обратные задачи, знакомятся со значительно большим разнообразием задач, чем в традиционных задачниках.

– При составлении и решении обратных задач выдвигается на первый план анализ и видоизменение математических зависимостей.

Итак, для развития мышления ценны не столько прямые и обратные задачи, взятые вне времени сами по себе, а наиболее важный познавательный элемент заключается в процессе преобразования одной задачи в другую, в сравнении условий, решений, ответов задач, то есть тех “невидимых”, трудно уловимых и трудно изобразимых при логическом анализе элементов мысли, которые связывают решения обеих задач (прямой и обратной).

Однако нельзя забывать, что переходы эти осуществляются во времени: чем меньше интервал времени между противоположными процессами решения взаимно обратных задач, тем быстрее и чаще будут совершаться эти переходы и тем прочнее будут сохраняться в памяти следы этих переходов, то есть тем более глубокими и основательными окажутся осваиваемые знания.

2. Решение задач на умножение и деление.

Связи между умножением и делением в той же мере взаимно обратны, в какой взаимно обратны действия сложения и вычитания. Классификация задач по теме: “Умножение и деление” выглядит следующим образом (таблица прилагается).

2.1. Умножение, деление по содержанию и деление на равные части.

На трех первых уроках, специально посвященных умножению. Выясняется смысл понятия умножения как свернутого сложения равных слагаемых (о делении пока не говорится).

Этого времени достаточно для изучения таблицы умножения на 2.

На следующих уроках к каждому из известных случаев умножения приводится соответствующий случай деления. В дальнейшем умножение и деление по содержанию рассматриваются только совместно на одних и тех же уроках.

При введении понятия деления необходимо вспомнить соответствующие случаи умножения, чтобы создать понятие о новом действии. Обратном умножению.

Понятие “умножение” приобретает богатое содержание: оно не только результат сложения равных слагаемых, но и основа, исходный элемент деления, которое представляет свернутое вычитание равных вычитаемых.

Смысл умножения постигается не столько при самом умножении, сколько при постоянных переходах между умножением и делением, ибо деление есть завуалированное, “измененное”, обращенное умножение. Это т объясняет, почему выгодно изучать одновременно умножение и деление.

Пусть нужно по 2 взять 3 раза и 6 разделить по 2.

Дети берут по 2 кружочка и отходят в сторону.

– Эти дети будут составлять задачу.
– По 2 взять один раз, получится 2 (один ученик вкладывает 2 кружочка в наборное полотно),
– По 2 взять 2 раза, получится 4 (аналогично),
– По 2 взять три раза, получится 6.

Запись на доске: по 2 • 3 = 6 (к.)

– Теперь составим обратную задачу. Если в прямой задаче мы собирали кружочки, то в обратной станем раздавать их.
– По сколько кружочков станем раздавать? (По 2.)
– Сколько всего надо раздать? (6.)
– Беру с полотна 2 кружочка, отдаю ученику – 2 кружочка отдали одному человеку (и далее аналогично: по 2 кружочка отдали двум ученикам, по 2 кружочка отдали трем ученикам).
– Сколько всего раздали кружочков?
– Как разделили?
– По сколько делили?
– Скольким ученикам досталось?

На доске запись: 6 : по 2 = 3 (уч.)

Сравним: Умножение
по 2 • 3 = 6
Деление
6 : по 2 = 3

– Читаем еще раз (с наименованием и без)
– Сравним процесс решения задач:

– взять столько-то раз (•)
– собираем кружки
– нашли (подсчитали, получилось)
сколько всего кружков
– разделить по столько-то (:)
– раздаем кружки
– нашли (подсчитали, получилось)
скольким ученикам достались кружки

На первых уроках по одновременному изучению умножения и деления проводим многократные практические действия по собиранию и раздаче различных предметов. Смысл этих действий показываем в схеме:

Третья операция (деление на равные части) вводится на основе двух ранее известных: умножения и деления по содержанию.

4 ученика принесли по 2 тетради. Сколько всего тетрадей принесли?

– Составьте обратную задачу.

8 тетрадей раздали по 2 тетради. Сколько учеников получат тетради?

– Составьте третью задачу.

8 тетрадей надо раздать поровну четырем ученикам. По сколько тетрадей достанется каждому?

– У меня в руках 8 тетрадей.
– Скольким ученикам надо раздать по 2 тетради? (Вызываю 4-х учеников.)
– Сначала раздаем по одной тетради каждому ученику. Оставшиеся 4 тетради снова раздаем по одной тетради.
– Все тетради раздали?
–По сколько тетрадей получил каждый?

8 т. : на 4 = по 2 т.

Далее на уроках по изучению умножения и деления широко используем метод решения взаимно обратных задач.

На опытном участке 4 класса посадили по 3 грядки моркови. Сколько всего грядок посадили?

Краткая запись: по 3 гр. 4 к. ? гр.

Решение: 3 • 4 = 12 (гр.)

– Сколько данных в задаче?
– Сколько чисел найдено?
– Составьте обратную задачу.

12 грядок моркови посажено несколькими классами. Каждый класс посадил по 3 грядки. Сколько классов участвовало в посадке?

Решение: 12 гр. : по 3 гр. = 4 (кл.)

Даю название вида задач: “умножение”, “деление по содержанию” (таблица прилагается).

– Составьте 2-ую обратную задачу: 12 грядок моркови посажен поровну 4 классами. По сколько грядок посажено каждым 7 классом?

Краткая запись: по ? гр. 4 кл. 12 гр.

Решение: 12 гр. : 4 = 3 (гр.)

Далее обязательно сравниваем задачи.

2.2. Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз и задачи на кратное сравнение величин.

По характеру связей данная тройка задач совершенно аналогична задачам на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и разностное сравнение величин.

Тетрадь стоит 6 рублей, а альбом в 4 раза дороже. Сколько стоит альбом?

Краткая запись: 6 р. в 4 раза дороже ? р.

– Какова цена тетради?
– Цена альбома?
– Что это значит? (Вместо 1 альбома можно купить 4 т.)
– Как найти стоимость 4 х тетрадей?

Обратная задача. Если альбом в 4 раза дороже, то тетрадь – ? (В 4 раза дешевле.)

Краткая запись: ? р. в 4 раза дешевле 24 р.

– Во сколько раз тетрадь дешевле альбома?
– 24 р. – что означает это число? (Цена альбома.)
– Что надо узнать? (Цену тетради.)
– За что уплатили меньше?
– В предыдущей задаче мы выполнили умножение и нашли цену альбома, так как за него уплатили больше, чем за тетрадь. А за тетрадь уплатили в 4 раза меньше.
– Каким действием найдем цену тетради?

– Сравниваем условия, решения задач. В прямой задаче была дана цена тетради. Что требовалось найти? (Цену альбома.)
– А в обратной задаче? (Наоборот.)
– Какое число входило в условие обеих задач? (В 4 раза.)
– В чем разница между задачами? (В 4 раза дороже – уплатили больше – действие умножения, в 4 раза дешевле – уплатили меньше – действие деления.)
– Какая из задач на увеличение числа, какая – на уменьшение? (Таблица.)

Результатом этого анализа является упрочение в мыслительной практике учащихся двух рядов ассоциаций: дороже в а раз > умножить на а, дешевле в а раз > разделить на а.

Затем применяем обратный переход от задачи на умножение к задаче на увеличение, а от них к понятию “кратное” сравнение.

Изучение темы завершаем упражнениями, когда по одному сюжету и набору чисел составляются все три задачи.

Школьник весит 24 кг, а его ранец с книгами 3 кг. Во сколько раз ученик тяжелее ранца с книгами?

24 кг 3 кг ? кг
24 : 3 = 8 (раз)

Ранец школьника весит 3 кг, а сам он в 8 раз тяжелее ранца. Сколько килограмм весит школьник?

? кг 3 кг 8 раз
3 • 8 = 24 (кг)

Школьник весит 24 кг, а его ранец в 8 раз легче. Сколько весит ранец?

24 кг ? кг 8 раз
24 : 8 = 3 (кг)

Далее идет противопоставление задач на разностное и кратное сравнение. Одной из распространенных ошибок учащихся является подмена одного вида сравнения другим.

Чтобы выработать умение различать эти задачи, надо проводить противопоставление задач по трем линиям:

  • Увеличение на несколько единиц и увеличение в несколько раз,
  • Уменьшение на несколько единиц и уменьшение в несколько раз,
  • Разностное сравнение и кратное сравнение.
  • Иногда решаем задачи с несколькими вопросами.

    Валя купила 80 см красной ленты и 20 см синей ленты.

    – Сколько сантиметров ленты куплено всего?

    – На сколько см красная лента длиннее синей?

    – Во сколько раз красная лента длиннее синей?

    Иногда выполняем структурно противоположное упражнение, когда к условию и данным задачи придумываем вопросы.

    Книга стоит 35 р., тетрадь – 5 р. Поставьте вопросы, чтобы первая задача решалась делением, вторая – сложением, третья – вычитанием. После этого решаем задачи на умножение и деление, выраженные в косвенной форме.

    2.3. Задачи на нахождение части числа, числа по величине его части. Какую часть составляет одно число от другого?

    Естественно, что до введения этих задач дети знакомятся с дробями.

    В коробке 32 конфеты. Мама разделила их поровну между четырьмя сыновьями. Какая часть конфет досталась каждому? (Четвертая часть – ?.)

    – Что больше: целая коробка или ее часть?
    – Во сколько раз больше?
    – Как найти сколько конфет в ? коробки?

    Обратная задача. В четвертой части коробки 8 конфет. Сколько конфет в целой коробке?

    – Где больше конфет: в ? или в целой коробке?
    – Сколько конфет в целой коробке?

    – Сравним условия задач и процессы их решения.
    – Какие числа были даны в прямой задаче?
    – Что они обозначают?
    – А в обратной?
    – Скажите вопросы прямой и обратной задач.
    – Какими действиями решали задачи?

    На следующих уроках выполняем обратные преобразования. После этого вводится третья задача этого цикла.

    Купили несколько груш. Третья часть груш составляет 7 груш. Сколько всего было груш?

    Обратная задача. Купили 21 грушу. Сколько груш составляет 1/3 часть?

    Обратная задача. Какую часть составляет 7 яблок от 21 яблока?

    – Во сколько раз 21>7?
    – Как это найти? 21 : 7 = 3 (раза)
    – Какую часть составляет 7 яблок от 21 яблока? (Третью.)

    Затем выполняются закрепительные упражнения по решению задач на умножение и деление.

    Методология решения обратных задач геофизики

    Статья просмотрена: 1949 раз

    Библиографическое описание:

    Косьянов А. Н., Сосов В. А. Методология решения обратных задач геофизики // Молодой ученый. ? 2012. ? №1. Т.1. ? С. 77-79. ? URL https://moluch.ru/archive/36/4143/ (дата обращения: 15.11.2020).

    В связи с ростом населения Земли, всё острее стоит вопрос нехватки ресурсов. Поэтому методология их поиска очень актуальна. Для осуществления геофизической разведки, особенную важность имеет решение обратных задач. Существует много разных подходов к данной проблеме. О некоторых из них речь пойдёт в этой статье.

    Интегральная интерпретация данных – совместная обработка различных эмпирических данных, полученных несколькими методами, для построения общей картины.

    Адаптивный метод – способ решения задач в которых число переменных больше чем число уравнений, путём постоянной подстройки под входные данные [1].

    Геоинформационная система – система предназначенная для сбора, хранения, анализа и графической визуализации пространственных данных и связанной с ними информации о представленных в ГИС объектах.

    Геофизическое исследование скважин – комплексное исследование скважин с целью сбора данных для последующей обработки в геоинформационных системах с использованием различных методов.

    Прямая задача – исследование модели, в которой параметры считаются известными, для извлечения полезного знания об объекте.

    Обратная задача – тип задач, часто возникающий во многих разделах науки когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных.

    Для того, чтобы получить представления о свойствах объекта, необходимо создать его модель.

    Модель будет включать в себя следующие параметры: глубины границ раздела слоев и свойства пород в каждом слое. Используя математические зависимости между элементами модели и полем, мы можем вычислить теоретические значения поля для заданных условий его наблюдения.

    Процесс перехода от модели к полю называют решением прямой задачи. Переход от значения поля к параметрам модели среды – решением обратной задачи.

    Одним из простейших вариантов решения обратной задачи является подбор такой модели, которая дала бы теоретическое поле, совпадающее или близкое к наблюдаемому [1].

    В нашей статье предполагается, что имеется некоторая модель, характеризующаяся набором параметров. Это может быть вектор или набор векторов, матрица или набор матриц, и векторов.

    Обозначим значения неизвестных параметров X < x 1 , x 2 , … x n >. Получим математическую модель, связывающую неизвестные значения параметров с некоторым наблюдением, представленные в виде системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений U = AX или U = f ( X ).

    Данная исследуемая модель имеет вид системы уравнений:

    Сопоставляя прямую и обратную задачи, необходимо отметить следующие их особенности:

    Прямая задача, как правило, имеет единственное решение. Заданной модели при заданных условиях наблюдения соответствует единственное поле. В обратной задаче — одному и тому же полю может соответствовать множество моделей. Поэтому при решении задач возникает вопрос: какой ответ мы получили единственный или один их множества и какой из множества ответов наиболее близок к реальному. Прямые задачи являются, как правило, устойчивыми. Обратные задачи очень часто оказываются неустойчивыми, т.е. небольшие искажения в данных наблюдений могут приводить к значительным погрешностям в параметрах модели.

    Из общей статистической постановки вопроса нетрудно получить рекуррентный алгоритм, позволяющий уточнять оценки параметров, переходя последовательно от уравнения к уравнению. Достоинством рекуррентного метода является то, что он за один проход всех уравнений позволяет получить искомое решение и оценку ковариационной матрицы, а следовательно, и погрешности решений. Однако, он, как и многие другие методы, связанные с обращением и умножением матриц, позволяет решать системы с небольшим числом неизвестных [2]. Это обусловлено следующими причинами:

      С ростом числа уравнений растут ошибки, связанные с умножением

      Время счета растет пропорционально n 3 .

      Память, необходимая для хранения ковариационных матриц, растет

    пропорционально n 2 .

    В связи с этим, возникла необходимость создания метода (в классе итерационных), который был бы лишен указанных недостатков [3].

    В рамкой данной статьи будут рассмотрены 4 метода:

      Метод Качмажа с регуляризацией ;

      Оцениваться результаты будут с помощью 4 показателей:

        Корреляция между исходными коэффициентами отражения и полученными;

        Корреляция между исходной трассой и полученной.

        Запишем формулы адаптивного метода. Метод Качмажа и Качмажа с регуляризацией являются его упрощением. Расчёт коэффициентов отражения в разностном методе происходит со сдвигом на 1 позицию [4].

        Далее происходит расчёт разностей коэффициентов отражения.

        После чего полученные результаты добавляются к результатам из адаптивного метода.

        Каждое неизвестное на k+1 шаге будет равно:

        где – номер шага уточнения (не является показателем степени),

        i – порядковый номер уравнения,

        l – номер итерации,

        n – число уравнений в системе,

        j – порядковый номер неизвестного,

        m – число неизвестных,

        – коэффициент в l -ом уравнении j -го неизвестного. В случае нелинейной системы он будет зависеть от k ,

        – оценка дисперсии неизвестного на k -ом шаге,

        – дисперсия ошибки измерения параметра u в i -ом уравнении.

        Оценка дисперсии x j на каждом шаге уменьшается следующим образом:

        Если , а , то получим:

        На данный момент программа предусматривает оценку результатов по 4 критериям:

        Среднеквадратичное отклонение коэффициентов:

        Разработок в данной области прикладной науки очень много, т. к. постоянно требуется улучшение точности получаемых результатов, однако, методов, которые показывают высокие характеристики точности и скорости достаточно мало [5].

        Этот подход рассматривает два метода, которые впоследствии сравниваются между собой, в то время как наш использует четыре метода расчетов и сравнение между ними, что существенно повышает качество получаемых результатов. Оценка результатов осуществляется только по неквадратическому критерию оптимизации, в отличие от нашей работы, в которой реализованы четыре параметра, по которым осуществляется контроль получаемых данных.

        Также хотелось бы отметить, что решения обратных задач, с которыми могут справиться данные методы, практически не ограничивают объем обрабатываемых данных [6].

        Было проведено несколько опытов. В них было определено, как влияют на скорость сходимости и точность методов, различные сигналы (коэффициент затухания, количество периодов и длина периода сигнала), количество взятых коэффициентов отражения, процент накладываемой помехи и её вид, а также, как влияет коэффициент регуляризации на три из четырёх методов и влияние начального Sigma на результаты адаптивного метода. Опыты проводились на модельных данных.

        «Рис.» 1– Параметры оценки

        Анализ особенностей методов позволяет сделать выводы, что адаптивный метод и методы производные от него, не накапливают ошибок округления и позволяет решать системы с большим числом неизвестных. В настоящее время реально решаются задачи с числом неизвестных 10 4 и более.

        Может решать системы, где число неизвестных больше, чем число уравнений. Обладает гибкими свойствами регуляризации.
        Литература:

        Бизюкин, С.В., Кочнев В. А. Исследование возможностей адаптивного метода для решения обратной задачи МТЗ / В. А. Кочнев С. В Бизюкин // Геология и геофизика. – 1988. – № 7. С. 62-67.

        Кочнев, В. А. Технология решения обратной динамической задачи по данным метода отраженных волн. / В. А. Кочнев И. В. Гоз В. С. Поляков // Труды международного семинара “Обратные задачи геофизики” Новосибирск. – 1996. – 30 сент. – 4 окт. С. 80-92.

        Кочнев, В. А. Путь осознания возможностей математических моделей и алгебраических уравнений в геофизике / В. А. Кочнев // Геофизика. – 2001. – № 5. С. 15-20.

        Кочнев, В. А. Итерационный (адаптивный) подход к решению обратных геофизических задач. Математическое обеспечение и структура ЭВМ. [Текст]: сб.научн.работ / В. А. Кочнев. – Красноярск: ИПЦ КГТУ , 1997. – 623 с.

        Заявка на пат. 98113007/25 Российская Федерация, МПК 6 G 01 V 1/28, G 01 V 1/00, G 01 V 1/36 . Способ определения глубинно-скоростных параметров среды и построения ее изображения по сейсмическим данным, система PRIME; заявитель Глоговский В.М. – 1 с.

        Кочнев, В.А. Хвостенко, В. И. Адаптивный метод решения обратных задач гравиметрии. / В. А. Кочнев В. И. Хвостенко // Геология и геофизика. – 1996. – № 7. – С. 120-129.

        Томография и обратная задача рассеяния

        Альтернативный курс, организованный кафедрой МОУ ФУПМ МФТИ.

        Томография известна прежде всего как область исследований связанная с задачей определения структуры обьекта по его рентгеновским снимкам. В настоящий момент в дополнение к этой классической томографии достаточно хорошо известны также несколько других томографий, где вместо рентгеновских снимков используются некоторые другие спектральные данные. При этом, различные томографические задачи тесно связаны с обратными задачами рассеяния. Эти задачи возникают, в частности, в медицинской диагностике, техническом контроле и различных областях физики. Методы интегральной геометрии и комплексного анализа входят в число наиболее эффективных математических методов используемых в задачах томографии и обратного рассеяния. Целью этого курса является введение в эту область исследований. При этом, следующие темы будут, в частности, рассмотрены:

        1. Рентгеновская томография и классическое преобразование Радона. Описание рентгеновских снимков в терминах преобразования Радона вдоль прямых. Формулы обращения Радона и Кормака. Моменнтые условия Гельфанда–Граева и уравнение Джона.
        2. Обобщенные преобразования Радона и однофотонная эмиссионная томография: Описание эмиссионных данных в терминах преобразования Радона с поглощением вдоль ориентированных прямых. Весовые преобразования Радона и приближенная формула обращения Чанга. Точная формула обращения для классического преобразования Радона с поглощением.
        3. Обратная задача рассеяния для многомерного уравнения Шредингера: Формулы и уравнения прямой задачи рассеяния. Явные линейные приближенные формулы для решения обратной задачи рассеяния. Точные методы восстановления потенциала по данным рассеяния. Приложения к теории солитонов.
        4. Электрическая томография и обратная задача Гельфанда–Кальдерона: Соотношение между напряжениями и токами на границе как Дирихле–Нейман оператор. Метод восстановления через сведение к обратной задаче по данным «рассеяния» Фаддеева.
        5. Решение задач, обратных данной

          — Сегодня нас с вами ждет очень интересное путешествие в мир царицы всех наук –математики.

          -Посмотрите на слайд, сегодня к нам на урок пришел самый настоящий профессор, обычно он очень веселый, но сегодня случилась беда. Когда профессор писал задания для учеников все числа, перепуталась. Давайте поможем расположить профессору числа в правильном порядке. Посмотрите, какие числа записаны в кружочках, поставьте их в порядке убывания (уменьшения). Т.е от большего к меньшему.

          Ответ: 55, 50, 45, 35, 25, 15.

          -Ребята, профессор очень благодарен вам, но вот незадача, посмотрите из тех примеров, которые он записал на доске, куда-то исчезли все ответы.

          17-10+9=16

          14-6+5= 13

          48-40+6= 13

          34-4-30=0

          56-50+7= 13

          39-30+7= 16

          -Правильно, решать задачи, но не простые задачи, а «Задачи обратные данной».

          -Посмотрите на слайд, кто мне прочитает условие задачи?

          «Вера купила блокнот за 6 рублей. И карандаш за 4 рубля. Сколько всего рублей стоили блокнот и карандаш вместе?»

          — Какие предметы купила Вера?

          -Блокнот и карандаш.

          -Знаем ли мы, сколько стоит блокнот?

          -Знаем – 6 рублей

          — Знаем ли мы, сколько стоит карандаш?

          -Знаем – 4 рубля

          -Можем ли мы ответить на вопрос задачи?

          -Да.

          -Каким действием?

          -Сложением.

          1) 6+4=10 – рублей стоят блокнот и карандаш вместе.

          Откройте тетради, запишите число, классная работа и напишите решение задачи.

          -Что нам было не известно?

          -Для каждой задачи можно составить задачу обратную ей.

          -А очень просто, то что нам было неизвестно, становится известным.

          -Посмотрите на наш рисунок, сформулируйте условие задачи.

          « На 10 рублей Вера купила блокнот и карандаш. Блокнот стоил 6 рублей. Сколько стоил карандаш?»

          -А можем мы составить другую обратную задачу?

          -Посмотрите на рисунок, сформулируйте условие задачи.

          «На 10 р. Вера купила блокнот и карандаш. Карандаш стоил 4 рубля. Сколько стоил блокнот?»

          -Запишите в тетрадь решение этих задач.

          -Какие же задачи мы с вами называем обратными ?

          -Обратными мы называем задачи, в которых то, что нам было не известно, становится известным, а одно из известных становится неизвестным.

          -Теперь давайте немного отдохнем, проведем физминутку. Встаньте и повторяйте движения за мной.

          «Ветер дует нам в лицо,

          Деревцо все выше, выше.»

          -Об окунях и лещах.

          — Да знаем, Володя поймал 4 окуня.

          -Знаем ли мы, сколько лещей поймал Володя?

          -Можем ли мы ответить на вопрос задачи?

          -А теперь по образцу попытайтесь самостоятельно сконструировать условия для обратных задач.

          «Володя поймал семь рыб. Из них было 4 окуня. Сколько лещей поймал Володя?»

          «Володя поймал семь рыб. Из них было 3 леща. Сколько окуней поймал Володя?»

          Теперь мы с вами немного отдохнем. Каждый получит математическую раскраску. Постарайтесь ее заполнить.

          -Овчарка или пудель.

          Ребята, сегодня мы с вами очень хорошо поработали, научились решать задачи обратные данной. Посмотрите на доску, запишете домашнее задание

          1. Уч.: стр. 26, № 3.

          2. Р. т.: стр. 34, № 19

          (решить задачи).

          Спасибо вам большое за урок. До новых встреч.

          Просмотр содержимого документа
          «Решение задач, обратных данной »

          II. Вводная беседа

          III. Основной этап

          VIII. Математическая раскраска.

          IX. Устное решение задачи

          -Но прежде чем начать изучение новой темы проведем небольшую математическую разминку.

          -Посмотрите на слайд, сегодня к нам на урок пришел самый настоящий профессор, обычно он очень веселый, но сегодня случилась беда. Когда профессор писал задания для учеников все числа, перепуталась. Давайте поможем расположить профессору числа в правильном порядке. Посмотрите, какие числа записаны в кружочках , поставьте их в порядке убывания (уменьшения). Т.е от большего к меньшему.

          Ответ: 55, 50, 45, 35, 25, 15.

          -Молодцы ребята, профессор говорит вам спасибо вы молодцы. В благодарность он раскрывает перед нами девиз нашего урока. Прочитайте его.

          — «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их»

          -Как вы думаете, чем сегодня мы будем заниматься на уроке?

          «Вера купила блокнот за 6 рублей. И карандаш за 4 рубля. Сколько всего рублей стоили блокнот и карандаш вместе?»

          — Посмотрите на номер первый. Задачу под пунктом 1. Прочитайте условие задачи.

          — Какие предметы купила Вера?

          -Блокнот и карандаш.

          -Знаем ли мы, сколько стоит блокнот?

          -Знаем – 6 рублей

          — Знаем ли мы, сколько стоит карандаш?

          -Можем ли мы ответить на вопрос задачи?

          1) 6+4=10 – рублей стоят блокнот и карандаш вместе.

          -Ребята, что нам было известно в данной задаче?

          -Сколько стоили блокнот, карандаш.

          -Сколько денег заплатила Вера.

          -Как же получить задачу обратную данной?

          Давайте с вами составим обратную задачу.

          « На 10 рублей Вера купила блокнот и карандаш. Блокнот стоил 6 рублей. Сколько стоил карандаш?»

          «На 10 р. Вера купила блокнот и карандаш. Карандаш стоил 4 рубля. Сколько стоил блокнот?»

          Ветер тише, тише, тише.

          — Откройте страницу 26 в учебнике. Прочитайте условие задачи под номером 2.

          -О каких рыбах говорится в задаче.

          -Знаем ли мы, сколько окуней поймал Володя?

          -Да, знаем, 3 леща.

          -Запишите в тетрадь решение задачи.

          — Какие обратные задачи у вас получились?

          «Володя поймал семь рыб. Из них было 4 окуня. Сколько лещей поймал Володя?»

          «Володя поймал семь рыб. Из них было 3 леща. Сколько окуней поймал Володя?»

          -Запишите в тетрадь решение задач.

          -Молодцы, вы отлично справились с заданием. Теперь устно решим задачу под номером 5. Прочитайте условие задачи. Посмотрите на доску. На ней вы видите трех мальчиков, и собак. Если у Димы не такса, то какая собака у него может быть?

          -Если у Юры не овчарка и не такса, то какая у него собака у него может быть?

          Можем мы сказать какая собака будет у Димы?

          -Теперь мы можем сказать какая собака у Алеши?

          Тема: « Задачи обратные данной».

          Образовательная: знакомство детей с новым математическим понятием: «обратные задачи», установление связи между прямой и обратной задачей.

          Воспитательная: воспитывать умение внимательно слушать и выполнять правильные действия

          Развивающая : развивать логическое мышление, внимание.

          Личностных УУД: Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности; позитивному отношению к уроку математики, учебно-познавательный интерес к учебному материалу.

          Регулятивных УУД: Уметь учащимися принимать и сохранять учебную задачу, планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; овладение умениями проговаривать последовательность действий на уроке, умение формулировать цель урока с помощью учителя.

          Познавательные УУД: Уметь осуществлять логические операции; описывать математические объекты; ориентироваться в своей системе знаний, строить небольшие математические высказывания.

          УУД Коммуникативные: Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; учиться работать в паре, формулировать собственное мнение и позицию.

          Построение обратных задач

          Математическую задачу нельзя считать решенной, пока не решена или хотя бы поставлена обратная задача.

          Экспериментально доказано, что наличие упражнений обратной структуры содействует улучшению качества знаний учащихся по математике. Так как:

          1. Обратная задача помогает учащемуся извлекать дополнительную информацию, заключающуюся в новых связях между величинами исходной задачи.

          2. Решая обратную задачу, учащиеся перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом они овладевают новыми, более сложными, формами рассуждений.

          3. Обратная задача является средством формирования у учащихся способности к переключению на обратный ход мысли – определяющим, исходным элементом математических способностей. (Крутецкий В.А., Эрдниев П.М.).

          Дидактическая эффективность приема составления новых задач, обратных данным, определяется:

          · возможностью его использования при изучении любых разделов математики;

          · вскрытием структурных особенностей (взаимосвязей понятий, тем) изучаемого материала;

          · сокращением времени изучения материала;

          · осознанным пониманием учащимися изучаемого материала;

          · субъектной позицией учащегося. Метод обратных задач приводит ученика к постановке новых проблем, к получению иных разновидностей задач.

          Значимость приема построения обратных задач обуславливает необходимость изучения будущими учителями его сути, приобретения опыта составления обратных задач и оперирования (проверка корректности, решение или доказательство) с ними, изучения методики использования приема в обучении математики (в том числе и для составления систем задач).

          Суть приема составления обратных задач – при построении обратной задачи меняют местами условие и заключение (требование) исходной задачи.

          Приведем пример. Исходная задача – найдите длины медиан ?АВС, если его стороны равны a,b,c. Задача, обратная исходной – найдите длины сторон ?АВС, если его медианы равны a,b,c.

          Поскольку заданных и искомых величин (данных и требований) в задаче может быть несколько, то и так называемая «обратная» задача может быть не одна.

          Исходная задача – в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

          Структура задачи: .

          А1: данный треугольник является равнобедренным. А2: данный отрезок — медиана, проведенная к основанию.

          В1: данный отрезок — высота. В2: данный отрезок — биссектриса.

          Обратная задача 1: . В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

          Обратная задача 2: . В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

          Обратная задача 3: . Если в треугольнике высота и медиана, проведенные к одной стороне, совпадают, то он является равнобедренным, а высота (медиана) является биссектрисой.

          Обратная задача 4: . Если в треугольнике биссектриса и медиана, проведенные к одной стороне, совпадают, то он является равнобедренным, а биссектриса (медиана) является высотой.

          Обратная задача 5: . Если в треугольнике высота и биссектриса, проведенные к одной стороне, совпадают, то он является равнобедренным, а высота (биссектриса) является медианой.

          Выделим особенности построения обратных задач к задачам на доказательство и к задачам на нахождение.

          Когда задаче на доказательство соответствует проверка истинности эквиваленции («A тогда и только тогда, когда B», т.е. AUB), построение обратной задачи не имеет смысла. Существуют математические предложения, представляющие собой высказывания, полученные их некоторых предикатов навешиванием кванторов всеобщности или существования по неизвестным, от которых зависит предикат. Например, нужно доказать истинность высказывания «x $y (x?y = 1), где x,yIQ\<0>. В этом случае также нет возможности построения обратной задачи в чистом виде.

          Поэтому в качестве обратимых задач на доказательство будем рассматривать лишь математические предложения, сформулированное в виде импликации («Если A, то В», т.е. A?B).

          В задаче на нахождение обычно заданы исходные величины (или параметры), от которых зависит получаемый ответ. Когда строим обратную задачу, мы стремимся в качестве одного из исходных данных выбрать ответ, а искомым сделать ранее заданную величину.

          Заметим, что строить «обратные» задачи совсем не сложно. Вопрос о необходимости составления обратных задач решается однозначно. Обратные задачи необходимо составлять при изучении любого материала. Другое дело – нужно ли их решать; где решать (в классе или дома); достаточно ли у учащихся знаний для решения сконструированных задач; если теоретической базы не хватает для решения обратной задачи, нужно ли ее формулировать; корректна ли построенная задача? На эти вопросы должна ответить методика использования приема составления обратных задач в обучении математики.

          Начнем с обсуждения проблем, возникающих в процессе обратимости задач на доказательство вида A?B. Построение такой задачи почти не вызывает затруднений, трудности возникают при оценке истинности обратного утверждения B?A. Например, легко видеть, что утверждение «если в треугольнике две медианы равны, то такой треугольник является равнобедренным», являющееся обратным к утверждению «в равнобедренном треугольнике две медианы равны», истинно и доказать это не трудно. Если же поставить перед собой аналогичный вопрос «известно, что биссектрисы двух углов равнобедренного треугольника равны. Верно ли обратное, что если биссектрисы двух углов треугольника равны, то треугольник равнобедренный?», положительный ответ мы получим не сразу, хотя есть полное ощущение тривиальности доказательства (особенно в свете решения предыдущего вопроса). Оказалось, что найти чисто геометрическое доказательство данного утверждения не так-то легко. Одно из доказательств приведено, например, в книге «Новые встречи с геометрией» Г.С.М. Коксетера и С.Л. Грейтцера.

          Если данные обратные утверждения строятся семиклассниками в рамках изучения темы «Свойства равнобедренного треугольника», то для доказательства последнего утверждения у учащихся нет теоретической базы. Однако это не должно стать отказом от составления обратных утверждений. Данную ситуацию можно использовать для формирования потребности в учении. Нехватка знаний – это начало разговора о необходимости в их дальнейшем развитии.

          Когда теоретическая база позволяет, условимся не только строить обратные задачи и решать их, но в случае, когда обратное утверждение ложно, попытаемся найти нужные ограничения, чтобы оно стало истинным.

          Рассмотрим несколько примеров.

          Пример 1. Известно, что в правильной треугольной пирамиде все боковые ребра равны между собой и площади боковых граней совпадают. Верно ли обратное утверждение: если в треугольной пирамиде все боковые ребра равны между собой и площади боковых граней совпадают, то пирамида правильная?

          Чтобы опровергнуть обратное утверждение достаточно привести контрпример (синусы плоских углов при вершине пирамиды равны, а сами углы различны).

          Усилить дидактическую значимость приема составления обратных задач можно, доопределив обратное утверждение, то есть, составив верную импликацию B1 для исходной задачи A?B. В этом случае мы сталкиваемся с ситуацией, когда ищем недостающие или избыточные данные в начальном состоянии предмета задачи. Конечно, не обойдемся без трудностей, которые возникают при формировании условия B1: тяжело определить, на какие именно элементы стоит накладывать ограничения, да и выбор ограничений слишком неоднозначен.

          В нашем примере обратное утверждение будет верным, если в основании пирамиды лежит остроугольный треугольник. Следовательно, обратное утверждение нужно доопределить указанным требованием.

          Возможна ситуация, когда утверждение, обратное к очевидному, не является верным, но это не просто доказать [4].

          Пример 2. Дан четырехугольник ABCD. Точки K, M, N, L ? середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. , , , . Можно доказать, что если ABCD ? параллелограмм, то . Верно ли обратное утверждение?

          Известно, что четырехугольник определяется пятью своими независимыми элементами. Класс параллелограммов высекается из класса четырехугольников двумя соотношениями (любой параллелограмм определяется тремя своими элементами). Данное отношение площадей не задает двух нужных соотношений, т.е. PRQT, вроде бы, не обязан быть параллелограммом. Но, может быть, перед нами частный случай, тем более, что 5 – наименьшее возможное значение этого отношения, то есть при таком построении данным отношением определяется именно параллелограмм. Неудача при подборе контрпримеров только подтолкнет к попытке доказать данное утверждение. Доказать его также не удается, поскольку существуют контрпримеры, но обнаружить их крайне трудно. Например, если A(10;0), B(0;0), C(2;5), D(19;10), то , но четырехугольник ABCD ? не параллелограмм.

          После нахождения примера, опровергающего обратное утверждение, можно попытаться найти ограничение, которое приведет к полному описанию параллелограмма. Например, таким ограничением будет набор требований и , где , , , . Подробнее о решении обратной задачи и о нахождении указанного ограничения написано в статье Лецко В.А. «Методика организации исследовательской работы старшеклассников в области математики». (См. «Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации процесса образования» — Волгоград, 2004).

          Рассмотрим примеры построения “обратных” задач к вычислительным задачам.

          Пример 3. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см., а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник. Постройте задачу, обратную к данной.

          К этой задаче можно построить две обратные задачи. Первая из них, когда за исходные данные берется радиус вписанной окружности и катет (нужно найти проекцию другого катета на гипотенузу), решается так же просто, как и исходная задача. Если же в качестве данных в задаче выбрать радиус вписанной окружности и проекцию катета на гипотенузу, то вычисления, проводимые при нахождении катетов, довольно громоздкие. Построив обратную задачу, нужно оценить, стоит ли использовать составленную задачу при изучении соответствующей темы.

          Иногда решение обратной задачи позволяет подобрать наиболее удачные данные для исходной задачи, на что можно обратить внимание учащихся при рассмотрении следующего примера.

          Пример 4. Все четыре грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, длины боковых сторон которых равны . Найдите величину угла при вершине этих треугольников, если объем пирамиды равен 2/3. Постройте задачу, обратную к данной.

          При построении и решении обратной задачи обнаружим, что одним из исходных данных должен быть выбран ответ (ответ к исходной задаче). Следовательно, можно немного упростить числовые данные: взять величину угла 30° и сторону . При этом вычисления по ходу решения не особенно изменятся, но исходные числовые данные станут немного проще.

          Специфику «сложносоставных» задач – наличие нескольких обратных задач – можно использовать для систематизации учебного материала.

          Рассмотрим пример конструирования систем задач к уроку «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» методом составления обратных задач.

          DАВС

          DАСК (?С=?АКС, – общий) ? ? . DАВС

          DСВК (?С=?ВКС, ?В – общий) ? ? . DАСК

          DСВК (?АКС=?ВКС, ?САК=?КСВ) ? ? .

          Исходная задача: «Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8 см. Найдите гипотенузу; высоту, проведенную к гипотенузе; отрезки на которые делит гипотенузу основание высоты».

          Составив матрицу условий и заключений, меняя местами данные и искомые величины, получим девять принципиально различных задач по теме.

          а b c ac bc h
          3,2
          2

          Данную таблицу можно заполнять вместе с учениками, показывая пример систематизации знаний, формируя умение составлять обратные задачи.

          Сконструированная таким образом система задач позволяет учителю ликвидировать пробелы учебников. Так в учебнике Атанасяна Л.С. «Геометрия 7-9» из сконструированной системы представлены только три типа задач.

          Построение обратных задач на уроках математики призвано облегчить учащимся понимание учебного материала.

          В пункте «Параллельность прямой и плоскости» учебника Атанасяна Л.С. «Геометрия 10-11» рассматривается взаимно обратные задачи: «Если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям» и «Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и их линии пересечения». Первое утверждение приводится в перечне задач к параграфу под номером 25, а второму утверждению присвоен номер 32. При раздельном изучении этих предложений (иногда даже на разных уроках) учащиеся воспринимают задачи как разные, не связанные между собой. Искусство учителя как раз и состоит в умении систематизировать материал и предъявлять его учащимся так, чтобы у них не возникало чувство бессмысленности деятельности по решению задач – сколько не решай, все равно всех не перерешаешь. Построение обратных задач один из способов систематизации учебного материала.

          Вопросы и задания

          1. Законспектируйте материал о роли и месте обратных задач при обучении математике:

          а) Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. М, «Просвещение», 1978. – Ч. I, §2, §6; Ч. III, §1.

          б) Дразнин И.Е. Обращение условий планиметрических задач. // Математика в школе. – 2001. – № 8. – с.52-55.

          2. Решите данные задачи. Составьте и решите задачи, обратные к данным:

          а) Докажите, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

          б) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

          в) Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

          г) В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

          д) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

          е) Найдите .

          ж) Два крана могут разгрузить баржу за 6 часов. За какое время разгрузит эту баржу первый кран, работая отдельно, если на это ему потребуется на 9 ч меньше, чем второму.

          з) Решите уравнение .

          3. Подобрать необратимые задачи и добавить некоторые элементы в заключение B (получится утверждение B1) исходной задачи вида A?B, чтобы обратное высказывание B1?A стало верным.

          4. Приведите контрпримеры, доказывающие ложность следующих предложений:

          1) Если сумма делится на 3, то и каждое слагаемое делится на три.

          2) Если число делится на каждый сомножитель, то оно делится и на произведение.

          3) Четырехугольник, имеющий два прямых угла, является прямоугольником.

          4) Если в четырехугольнике диагонали равны, то он является прямоугольником.

          5) Биссектриса угла в равнобедренном треугольнике является его медианой и высотой.

          6) Равные отрезки, заключенные между параллельными прямыми, параллельны.

          5. Методом обращения задачи составьте систему задач по теме «Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике». Сколько принципиально различных задач? Подберите числовые данные и занесите их в таблицу:

          a b с a b

          Опишите фрагмент урока по использованию данной системы задач на уроке.

          6. Составьте все обратные задачи к исходной – найдите длины медиан ?АВС, если его стороны равны a,b,c. Сколько принципиально различных задач? Решите их. Все ли задачи корректны? Все ли имеют решение? Продумайте методику использования данной системы задач на уроке.

          Дата добавления: 2014-12-16 ; Просмотров: 2299 ; Нарушение авторских прав? ;

          Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

          Читайте так же:  Пример заполнения 3 ндфл возврат за обучение